【10个泰勒展开式常用公式】在数学分析中，泰勒展开式是一个非常重要的工具，它能够将一个光滑函数表示为无限项的多项式形式。这种展开方式不仅有助于理解函数的局部行为，还在数值计算、物理建模和工程应用中有着广泛的应用。本文将介绍10个常见的泰勒展开式公式，帮助读者更好地掌握这一数学工具。

1. $ e^x $ 的泰勒展开

$$

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

$$

该展开式在 $ x = 0 $ 处（即麦克劳林级数）成立，适用于所有实数 $ x $。

2. $ \sin x $ 的泰勒展开

$$

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

$$

此展开式仅包含奇次幂项，且收敛域为全体实数。

3. $ \cos x $ 的泰勒展开

$$

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

$$

与正弦函数类似，余弦函数的泰勒展开也只包含偶次幂项。

4. $ \ln(1+x) $ 的泰勒展开

$$

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

$$

该展开式在 $ x < 1 $ 范围内有效，当 $ x = 1 $ 时收敛于 $ \ln 2 $。

5. $ \arctan x $ 的泰勒展开

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

$$

该展开式适用于 $ x \leq 1 $，是求反正切函数近似值的重要方法。

6. $ \ln(1-x) $ 的泰勒展开

$$

\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots

$$

同样适用于 $ x < 1 $。

7. $ (1+x)^k $ 的泰勒展开（二项式展开）

$$

(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n

$$

其中 $ \binom{k}{n} = \frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!} $，适用于任意常数 $ k $ 和 $ x < 1 $。

8. $ \tan x $ 的泰勒展开

$$

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots

$$

该展开式在 $ x < \frac{\pi}{2} $ 内有效，但系数较为复杂，通常用于高阶近似。

9. $ \sinh x $ 的泰勒展开

$$

\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots

$$

双曲正弦函数的展开式与正弦函数类似，但不带负号。

10. $ \cosh x $ 的泰勒展开

$$

\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

$$

与余弦函数类似，但不带负号，适用于双曲函数的近似计算。

结语

泰勒展开式是数学中不可或缺的工具，它不仅帮助我们理解函数的结构，还为数值计算提供了强大的支持。掌握这些常见函数的泰勒展开形式，对于学习高等数学、物理以及工程学的学生来说至关重要。希望本文能为大家提供清晰、系统的知识梳理，助力进一步的学习与研究。