【21个基本初等函数的求导公式及部分性质】在微积分的学习过程中，掌握基本初等函数的导数是进行复杂计算和分析的基础。本文将系统地介绍21个常见的基本初等函数的求导法则，并简要说明它们的一些重要性质，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、常数函数

函数形式： $ f(x) = C $（C为常数）

导数公式： $ f'(x) = 0 $

性质： 常数函数的图像是一条水平直线，其斜率为零，因此导数恒为零。

二、幂函数

函数形式： $ f(x) = x^n $（n为实数）

导数公式： $ f'(x) = nx^{n-1} $

性质： 幂函数的导数与其指数有关，当n=1时，导数为1；当n=0时，导数为0。

三、指数函数

函数形式： $ f(x) = a^x $（a>0且a≠1）

导数公式： $ f'(x) = a^x \ln a $

性质： 当底数为e时，即 $ f(x) = e^x $，其导数仍为自身，这是自然指数函数的重要特性。

四、对数函数

函数形式： $ f(x) = \log_a x $（a>0且a≠1）

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $

性质： 当底数为e时，即 $ f(x) = \ln x $，导数为 $ \frac{1}{x} $。

五、正弦函数

函数形式： $ f(x) = \sin x $

导数公式： $ f'(x) = \cos x $

性质： 正弦函数的导数是余弦函数，两者互为导数关系。

六、余弦函数

函数形式： $ f(x) = \cos x $

导数公式： $ f'(x) = -\sin x $

性质： 余弦函数的导数是负的正弦函数。

七、正切函数

函数形式： $ f(x) = \tan x $

导数公式： $ f'(x) = \sec^2 x $

性质： 正切函数在其定义域内可导，导数始终为正。

八、余切函数

函数形式： $ f(x) = \cot x $

导数公式： $ f'(x) = -\csc^2 x $

性质： 余切函数的导数为负的余割平方。

九、正割函数

函数形式： $ f(x) = \sec x $

导数公式： $ f'(x) = \sec x \tan x $

性质： 正割函数的导数与正切函数有关联。

十、余割函数

函数形式： $ f(x) = \csc x $

导数公式： $ f'(x) = -\csc x \cot x $

性质： 余割函数的导数为负的余割乘以余切。

十一、反正弦函数

函数形式： $ f(x) = \arcsin x $

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $

性质： 定义域为 [-1, 1]，导数在该区间内存在。

十二、反余弦函数

函数形式： $ f(x) = \arccos x $

导数公式： $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $

性质： 与反正弦函数导数符号相反。

十三、反正切函数

函数形式： $ f(x) = \arctan x $

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $

性质： 导数恒为正值，且随x增大而减小。

十四、反余切函数

函数形式： $ f(x) = \text{arccot } x $

导数公式： $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $

性质： 与反正切函数导数符号相反。

十五、反双曲正弦函数

函数形式： $ f(x) = \text{arcsinh } x $

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $

性质： 定义域为全体实数，导数为正。

十六、反双曲余弦函数

函数形式： $ f(x) = \text{arccosh } x $（x ≥ 1）

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} $

性质： 定义域为 [1, +∞)，导数为正。

十七、反双曲正切函数

函数形式： $ f(x) = \text{arctanh } x $（x < 1）

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{1 - x^2} $

性质： 定义域为 (-1, 1)，导数为正。

十八、反双曲余切函数

函数形式： $ f(x) = \text{arccoth } x $（x > 1）

导数公式： $ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 1} $

性质： 定义域为 (-∞, -1) ∪ (1, +∞)，导数为正。

十九、双曲正弦函数

函数形式： $ f(x) = \sinh x $

导数公式： $ f'(x) = \cosh x $

性质： 双曲函数与三角函数有相似的导数关系。

二十、双曲余弦函数

函数形式： $ f(x) = \cosh x $

导数公式： $ f'(x) = \sinh x $

性质： 与双曲正弦函数互为导数。

二十一、双曲正切函数

函数形式： $ f(x) = \tanh x $

导数公式： $ f'(x) = 1 - \tanh^2 x $

性质： 导数为1减去其平方，具有单调递增的性质。

总结

以上21个基本初等函数涵盖了代数函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数以及双曲函数等主要类别。掌握这些函数的导数公式，有助于提高微积分运算的效率与准确性。同时，了解每个函数的定义域、值域及其导数的符号变化，也有助于更深入地理解函数的行为特征。

在实际应用中，灵活运用这些导数公式，可以解决许多数学问题，如极值求解、曲线分析、物理建模等。希望本文能够为学习者提供一个清晰、系统的参考依据。