【常用不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是重要的基础内容之一。掌握常见的不定积分公式，有助于快速求解各类积分问题。以下是对一些常用的不定积分公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数相关积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a}\cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a}\sin(ax) + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数相关积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arccos x + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
四、有理函数与分式积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \frac{1}{x-a} $ | $ \ln | x - a | + C $ |
| $ \frac{1}{(x-a)^n} $（$ n \neq 1 $） | $ \frac{(x - a)^{1-n}}{1 - n} + C $ | ||
| $ \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} $ | 需根据判别式分别处理，可能涉及对数或反正切函数 |
五、指数与对数函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ |
| $ x e^{ax} $ | $ \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C $ |
| $ x^n e^{ax} $ | 分部积分法求解，结果通常为多项式乘以指数函数 |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ |
| $ x \ln x $ | $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ |
六、特殊函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \text{sech}^2 x $ | $ \tanh x + C $ | ||
| $ \text{csch}^2 x $ | $ -\coth x + C $ | ||
| $ \text{sech} x $ | $ 2 \arctan(\tanh(x/2)) + C $ | ||
| $ \text{csch} x $ | $ -\ln | \coth x + \text{csch} x | + C $ |
小结
以上内容整理了常见的不定积分公式，涵盖了多项式、指数、三角函数、反三角函数、有理函数以及特殊函数等类型。这些公式是解决实际积分问题的基础工具，建议结合具体题目练习使用，以提高熟练度和准确率。同时，注意积分常数 $ C $ 的添加，确保答案的完整性。
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