【几何分布的期望和方差】在概率论与数理统计中，几何分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，首次成功发生在第 $k$ 次试验的概率。几何分布有两种常见形式：一种是首次成功发生在第 $k$ 次试验（即从1开始计数），另一种是首次成功发生在第 $k-1$ 次试验（即从0开始计数）。本文主要讨论第一种形式，即首次成功发生在第 $k$ 次试验的情况。
一、几何分布的定义
设随机变量 $X$ 表示在独立重复的伯努利试验中，首次成功发生的试验次数。若每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $q = 1 - p$，则 $X$ 服从几何分布，记作 $X \sim \text{Geo}(p)$。
其概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots
$$
二、几何分布的期望
几何分布的期望表示在平均情况下，需要进行多少次试验才能首次成功。
数学期望公式为：
$$
E(X) = \frac{1}{p}
$$
这表明，当成功概率 $p$ 越高时，期望值越小，即越快能获得首次成功。
三、几何分布的方差
方差反映了随机变量取值的波动程度。对于几何分布，其方差公式为：
$$
\text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2}
$$
该公式说明，随着成功概率 $p$ 的增大，方差减小，即结果越集中；反之，$p$ 越小，方差越大，结果越分散。
四、总结与对比
以下表格总结了几何分布的期望与方差：
| 参数 | 公式 |
| 期望 $E(X)$ | $\frac{1}{p}$ |
| 方差 $\text{Var}(X)$ | $\frac{1 - p}{p^2}$ |
五、应用举例
假设某射击运动员每次射击命中目标的概率为 $p = 0.2$，那么他平均需要射击 $ \frac{1}{0.2} = 5 $ 次才能命中一次目标。其方差为 $ \frac{1 - 0.2}{0.2^2} = 20 $，表明实际命中次数可能会有较大波动。
通过了解几何分布的期望与方差，我们可以更好地预测和分析在重复试验中首次成功所需的时间或次数，这对于工程、金融、医学等领域都有重要意义。
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