近日，【牛顿冷却定律公式推导】引发关注。牛顿冷却定律是描述物体在周围环境温度影响下温度变化的物理规律。该定律指出，物体的冷却速率与其与周围环境的温差成正比。本文将对牛顿冷却定律的公式进行推导，并以加表格的形式呈现。

一、牛顿冷却定律简介

牛顿冷却定律（Newton's Law of Cooling）由艾萨克·牛顿提出，用于描述一个物体在冷却过程中温度随时间变化的规律。其核心思想是：物体的冷却速率与物体和环境之间的温差成正比。

二、公式推导过程

设：

- $ T(t) $：物体在时间 $ t $ 时的温度

- $ T_s $：环境温度（恒定）

- $ T_0 $：初始时刻（$ t = 0 $）物体的温度

- $ k $：比例常数（取决于物体的材质、表面积等）

根据牛顿冷却定律，冷却速率 $ \frac{dT}{dt} $ 与温差 $ T(t) - T_s $ 成正比：

$$

\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_s)

$$

这是一个一阶线性微分方程，可以通过分离变量法求解。

步骤1：分离变量

$$

\frac{dT}{T - T_s} = -k \, dt

$$

步骤2：积分两边

$$

\int \frac{1}{T - T_s} dT = -\int k \, dt

$$

左边积分得：

$$

\lnT - T_s = -kt + C

$$

其中 $ C $ 为积分常数。

步骤3：解指数形式

两边取指数：

$$

T - T_s = e^{-kt + C} = Ce^{-kt}

$$

即：

$$

T(t) = T_s + Ce^{-kt}

$$

步骤4：应用初始条件

当 $ t = 0 $ 时，$ T(0) = T_0 $，代入上式：

$$

T_0 = T_s + C \Rightarrow C = T_0 - T_s

$$

最终得到：

$$

T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}

$$

三、总结与关键参数说明

四、结论

通过上述推导可知，牛顿冷却定律的数学表达式为：

$$

T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}

$$

该公式表明，物体的温度会随着时间呈指数形式趋于环境温度。实际应用中，可通过实验测量 $ k $ 值，从而预测物体的温度变化趋势。

注：牛顿冷却定律适用于温差较小、热传导主要为对流或辐射的情况，不适用于大温差或热传导方式复杂的系统。

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