【单项式与多项式计算题专练】在代数学习中，单项式与多项式的运算是一项基础但非常重要的内容。掌握好这部分知识，不仅有助于提升数学思维能力，也为后续学习因式分解、方程求解等内容打下坚实的基础。

本练习题旨在帮助学生巩固对单项式和多项式的基本概念及其运算规则的理解，通过大量练习，提高运算的准确性和熟练度。

一、单项式与多项式的定义

单项式：由数字与字母的积组成的代数式，单独的一个数字或字母也称为单项式。例如：$3x$、$-5a^2b$、$7$ 等。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。例如：$x + y$、$3a^2 - 2ab + 5$ 等。

二、单项式与多项式的加减法

法则：合并同类项，即系数相加，字母部分保持不变。

例题1

计算：$4x^2 + 3x - 2x^2 + 5x$

解：

将同类项合并：

$ (4x^2 - 2x^2) + (3x + 5x) = 2x^2 + 8x $

例题2

计算：$ (2a^2 - 3a) + ( - a^2 + 4a ) $

解：

去掉括号后合并：

$ 2a^2 - 3a - a^2 + 4a = (2a^2 - a^2) + (-3a + 4a) = a^2 + a $

三、单项式与多项式的乘法

法则：用单项式乘以多项式中的每一项，再将结果相加。

例题3

计算：$ 3x(2x^2 - 5x + 1) $

解：

逐项相乘：

$ 3x \cdot 2x^2 = 6x^3 $

$ 3x \cdot (-5x) = -15x^2 $

$ 3x \cdot 1 = 3x $

所以结果为：$ 6x^3 - 15x^2 + 3x $

例题4

计算：$ -2a(3a^2 + 4a - 1) $

解：

$ -2a \cdot 3a^2 = -6a^3 $

$ -2a \cdot 4a = -8a^2 $

$ -2a \cdot (-1) = 2a $

结果为：$ -6a^3 - 8a^2 + 2a $

四、多项式与多项式的乘法（展开）

法则：使用分配律，即每个项分别相乘后相加。

例题5

计算：$ (x + 2)(x - 3) $

解：

展开：

$ x \cdot x = x^2 $

$ x \cdot (-3) = -3x $

$ 2 \cdot x = 2x $

$ 2 \cdot (-3) = -6 $

合并同类项：

$ x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 $

例题6

计算：$ (2a - b)(3a + 4b) $

解：

展开：

$ 2a \cdot 3a = 6a^2 $

$ 2a \cdot 4b = 8ab $

$ -b \cdot 3a = -3ab $

$ -b \cdot 4b = -4b^2 $

合并同类项：

$ 6a^2 + 8ab - 3ab - 4b^2 = 6a^2 + 5ab - 4b^2 $

五、练习题（附答案）

1. 计算：$ 5x^2 - 3x + 2x^2 - 7x $

答案：$ 7x^2 - 10x $

2. 计算：$ 2a(3a^2 - 4a + 1) $

答案：$ 6a^3 - 8a^2 + 2a $

3. 计算：$ (x + 4)(x - 5) $

答案：$ x^2 - x - 20 $

4. 计算：$ (3m - 2n)(m + n) $

答案：$ 3m^2 + mn - 2n^2 $

通过不断的练习和总结，同学们可以更加熟练地掌握单项式与多项式的运算技巧，为今后更复杂的代数问题打下良好的基础。希望这份练习能够帮助大家在数学学习中取得更大的进步！