【《量子力学》作业参考答案】以下为《量子力学》课程相关作业题目的参考解答，内容基于课程教学大纲和基本理论框架编写，旨在帮助学生理解知识点、巩固学习成果。请同学们在使用过程中结合自身思考，避免直接照搬。
一、简答题
1. 什么是波函数？它在量子力学中的物理意义是什么？
波函数是描述微观粒子状态的数学函数，通常用符号ψ表示。在量子力学中，波函数的模平方|ψ|²表示在某一时刻、某一位置找到粒子的概率密度。因此，波函数不仅包含了粒子的全部信息，还与测量结果的概率分布密切相关。
2. 请说明薛定谔方程的基本形式及其物理含义。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，其时间依赖形式为：
$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi(\mathbf{r}, t)
$$
其中，$\hat{H}$ 是哈密顿算符，代表系统的总能量。该方程描述了波函数随时间的变化规律，是研究量子系统演化的核心工具。
二、计算题
1. 已知一个粒子处于一维无限深势阱中，势阱宽度为 $a$，求其基态能量和对应的波函数。
对于一维无限深势阱，势能函数为：
$$
V(x) =
\begin{cases}
0, & 0 < x < a \\
\infty, & \text{其他区域}
\end{cases}
$$
基态能量为：
$$
E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}
$$
对应的波函数为：
$$
\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)
$$
2. 设某粒子的波函数为 $\psi(x) = A e^{-x^2/2}$，求归一化常数 $A$。
归一化条件为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1
$$
代入波函数得：
$$
A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 1
$$
利用高斯积分公式：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$
所以：
$$
A = \left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/4}
$$
三、证明题
1. 证明动量算符 $\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$ 在位置表象下是厄米算符。
厄米算符满足：
$$
\langle \phi | \hat{p} \psi \rangle = \langle \hat{p} \phi | \psi \rangle
$$
计算左边：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \phi^(x) (-i\hbar \frac{d}{dx} \psi(x)) dx
$$
分部积分后得到：
$$
i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \phi^(x) \psi(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} (-i\hbar \frac{d}{dx} \phi^(x)) \psi(x) dx
$$
即右边为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} (\hat{p} \phi)^ \psi(x) dx
$$
因此，动量算符是厄米的。
四、综合题
1. 考虑一个自旋为 $1/2$ 的粒子，在 $z$ 方向的自旋态为 $|\uparrow_z\rangle$，求其在 $x$ 方向的自旋态的表达式，并计算其在 $x$ 方向的平均值。
自旋态在不同方向之间可以通过泡利矩阵转换。
$$
|\uparrow_x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow_z\rangle + |\downarrow_z\rangle)
$$
自旋在 $x$ 方向的期望值为：
$$
\langle S_x \rangle = \frac{\hbar}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + 1) = \frac{\hbar}{2}
$$
结语：
本参考答案仅供参考，建议结合教材和课堂笔记进行深入理解。量子力学是一门抽象但极具魅力的学科，希望同学们在学习过程中不断探索、勇于质疑，提升自己的物理思维能力。
