【《离散数学》期末试卷(含答案)】一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列哪一个不是命题？
A. 今天天气很好
B. 2 + 2 = 4
C. 请关门
D. 3是质数
答案：C
2. 设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = ?
A. {1, 2, 3, 4}
B. {2, 3}
C. {1, 4}
D. 空集
答案：B
3. 若关系R在集合A上是自反的，则以下说法正确的是：
A. 对于任意a ∈ A，都有(a, a) ∉ R
B. 对于任意a ∈ A，都有(a, a) ∈ R
C. 存在某个a ∈ A，使得(a, a) ∈ R
D. 没有a ∈ A满足(a, a) ∈ R
答案：B
4. 在图论中，一个无向图的边数为m，顶点数为n，若该图是连通的，则m的最小可能值为：
A. n
B. n - 1
C. n + 1
D. 0
答案：B
5. 命题“如果p，则q”的逆否命题是：
A. 如果非p，则非q
B. 如果非q，则非p
C. p且q
D. p或q
答案：B
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 集合{1, 2, 3}的幂集共有________个元素。
答案：8
2. 若集合A = {a, b, c}，集合B = {b, c, d}，则A - B = ________。
答案：{a}
3. 一个简单图的度数序列是(2, 2, 3, 3)，则该图的边数为________。
答案：4
4. 命题“∀x (P(x) → Q(x))”的否定形式是________。
答案：∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
5. 在逻辑运算中，“p ∨ q”的真值表中，当p为假，q为真时，其结果为________。
答案：真
三、简答题（每题5分，共10分）
1. 什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何不同？
答： 谓词逻辑是在命题逻辑的基础上引入了个体、谓词和量词，能够更精确地表达复杂命题。命题逻辑只能处理简单的命题，而谓词逻辑可以描述个体之间的关系和性质。
2. 举例说明什么是欧拉图，并给出一个欧拉回路存在的条件。
答： 欧拉图是指存在一条经过每条边一次且仅一次的闭合路径的图。欧拉回路存在的条件是：图是连通的，并且所有顶点的度数均为偶数。
四、计算题（每题10分，共20分）
1. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，集合C = {3, 4, 5}，求：
a) A ∪ (B ∩ C)
b) (A ∪ B) ∩ C
解：
a) B ∩ C = {3, 4}，所以 A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4}
b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4}，所以 (A ∪ B) ∩ C = {3, 4}
2. 给定一个命题公式：(p → q) ∧ (¬p → r)，请写出其真值表，并判断该命题是否为重言式。
解：
| p | q | r | p→q | ¬p→r | (p→q) ∧ (¬p→r) |
|---|---|---|-----|------|----------------|
| 0 | 0 | 0 |1| 1| 1|
| 0 | 0 | 1 |1| 1| 1|
| 0 | 1 | 0 |1| 1| 1|
| 0 | 1 | 1 |1| 1| 1|
| 1 | 0 | 0 |0| 1| 0|
| 1 | 0 | 1 |0| 1| 0|
| 1 | 1 | 0 |1| 1| 1|
| 1 | 1 | 1 |1| 1| 1|
由真值表可知，该命题并非在所有情况下都为真，因此不是重言式。
五、证明题（10分）
证明：若集合A ⊆ B，且B ⊆ C，则A ⊆ C。
证明：
设x ∈ A，因为A ⊆ B，所以x ∈ B；又因为B ⊆ C，所以x ∈ C。因此，对于任意x ∈ A，都有x ∈ C，即A ⊆ C。证毕。
总分：50分
考试时间：90分钟
出题人：XXX
审核人：XXX
