【椭圆及其标准方程教案2】一、教学目标：
1. 知识与技能目标：
- 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程形式。
- 能够根据已知条件判断椭圆的焦点位置，并写出其标准方程。
- 掌握椭圆的几何性质，如长轴、短轴、焦距等概念。
2. 过程与方法目标：
- 通过实际问题引入椭圆的概念，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。
- 通过类比圆的方程推导椭圆的标准方程，提高学生的逻辑推理能力和数学建模能力。
3. 情感态度与价值观目标：
- 激发学生对几何图形的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值。
- 培养学生严谨的思维习惯和合作探究的学习态度。
二、教学重点与难点：
- 重点：
- 椭圆的定义及标准方程的推导过程。
- 椭圆的标准方程形式及其参数的几何意义。
- 难点：
- 理解椭圆定义中“到两个定点的距离之和为常数”的含义。
- 标准方程中参数 $ a $、$ b $、$ c $ 的关系及其几何意义。
三、教学准备：
- 教具：多媒体课件、直尺、圆规、坐标纸。
- 学生准备：复习圆的定义与标准方程，预习椭圆的基本概念。
四、教学过程：
1. 情境导入（5分钟）
教师提问：“我们已经学习了圆，圆的定义是平面上到一个定点距离等于定长的点的集合。那么，如果这个‘定点’变成两个，且到这两个点的距离之和是一个定值，这样的点的轨迹又是什么形状呢？”
引导学生思考，引出椭圆的概念。
2. 新课讲解（20分钟）
（1）椭圆的定义
椭圆定义：
平面内到两个定点 $ F_1 $、$ F_2 $ 的距离之和等于常数（大于 $ |F_1F_2| $）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。
注意：
- 如果常数等于 $ |F_1F_2| $，则轨迹是一条线段；
- 如果常数小于 $ |F_1F_2| $，则没有轨迹。
（2）椭圆的标准方程推导
设两个焦点 $ F_1(-c, 0) $、$ F_2(c, 0) $，动点 $ P(x, y) $ 到两个焦点的距离之和为 $ 2a $（$ a > c $）。
由椭圆定义得：
$$
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a
$$
两边平方后整理，可得：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)
$$
其中，$ b^2 = a^2 - c^2 $
说明：
- 当椭圆的焦点在 x 轴上时，标准方程为 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $；
- 当椭圆的焦点在 y 轴上时，标准方程为 $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 $。
3. 例题讲解（15分钟）
例题1：
已知椭圆的焦点在 x 轴上，焦距为 8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10，求该椭圆的标准方程。
解：
- 焦距 $ 2c = 8 $，所以 $ c = 4 $；
- $ 2a = 10 $，所以 $ a = 5 $；
- $ b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9 $，即 $ b = 3 $；
- 所以标准方程为 $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 $。
例题2：
已知椭圆的一个焦点为 $ (0, 3) $，中心在原点，长轴长为 10，求椭圆的标准方程。
解：
- 焦点在 y 轴上，故标准方程为 $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 $；
- 长轴长为 10，即 $ 2a = 10 $，所以 $ a = 5 $；
- 焦点在 y 轴上，$ c = 3 $；
- $ b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16 $，即 $ b = 4 $；
- 标准方程为 $ \frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1 $。
4. 巩固练习（10分钟）
练习题：
1. 已知椭圆的焦点在 x 轴上，焦距为 6，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10，求标准方程。
2. 若椭圆的焦点在 y 轴上，长轴长为 12，短轴长为 8，求标准方程。
5. 小结与作业（5分钟）
小结：
- 椭圆的定义：到两个定点距离之和为常数的点的轨迹。
- 椭圆的标准方程有两种形式，根据焦点位置不同而变化。
- 参数 $ a $、$ b $、$ c $ 的关系为 $ c^2 = a^2 - b^2 $。
作业：
1. 完成教材第 78 页习题 1～3。
2. 自己画出一个椭圆，并标出焦点、长轴、短轴的位置。
五、板书设计：
```
椭圆及其标准方程（2）
一、椭圆定义：
平面内到两个定点距离之和为常数（>两焦点距离）的点的轨迹。
二、标准方程：
1. 焦点在 x 轴上：(x²/a²) + (y²/b²) = 1
2. 焦点在 y 轴上：(y²/a²) + (x²/b²) = 1
三、参数关系：
c² = a² - b²
```
六、教学反思：
本节课通过生活实例引入椭圆概念，结合代数推导帮助学生理解椭圆的几何本质。通过例题讲解和练习巩固，使学生掌握了椭圆标准方程的求法，提高了分析问题和解决问题的能力。后续教学中应加强学生对参数之间关系的理解，提升综合运用能力。
