【高考导数专题训练题】在高中数学的众多知识点中，导数作为函数变化率的重要工具，不仅是数学分析的基础，也是高考数学中的重点和难点之一。导数的应用广泛，涉及函数的单调性、极值、最值、切线方程、不等式证明等多个方面。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面提供一份高考导数专题训练题，涵盖多种题型与解题思路，旨在提升学生的综合运用能力。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则其在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 若函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在点 $ x=1 $ 处的切线斜率为（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
3. 函数 $ f(x) = e^{x} - x $ 的单调递增区间是（ ）
A. $ (-\infty, 0) $
B. $ (0, +\infty) $
C. $ (-\infty, 1) $
D. $ (1, +\infty) $
4. 设函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $ 在 $ x=1 $ 处取得极小值，则 $ a $ 的取值范围是（ ）
A. $ a > 0 $
B. $ a < 0 $
C. $ a = 0 $
D. 任意实数
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 函数 $ f(x) = \ln x $ 在 $ x=1 $ 处的导数为 ________。
6. 若函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $，则其在 $ x=1 $ 处的切线方程为 ________。
7. 若函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，则其极值点为 ________。
8. 已知函数 $ f(x) = \sin x $，则其导数为 ________。
三、解答题（每题10分，共40分）
9. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $，求：
（1）函数的单调区间；
（2）函数的极值点及极值。
10. 已知函数 $ f(x) = x^2 \cdot e^{-x} $，求：
（1）函数的导数；
（2）函数在区间 $[0, 2]$ 上的最大值和最小值。
11. 设函数 $ f(x) = \frac{x^2}{x - 1} $，试求：
（1）定义域；
（2）函数的单调区间；
（3）是否存在极值？若有，求出极值。
12. 已知函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $，且 $ f(1) = 0 $，$ f'(1) = 0 $，$ f''(1) = 6 $，求 $ a, b, c $ 的值。
四、拓展题（10分）
13. 设函数 $ f(x) = x^2 + \ln x $，试证明：当 $ x > 0 $ 时，有 $ f(x) \geq 1 $。
参考答案（供参考）：
1. C
2. B
3. B
4. B
5. 1
6. $ y = -x + 2 $
7. $ x=0 $ 和 $ x=2 $
8. $ \cos x $
（解答题略，建议自行推导并验证）
结语：
导数是高考数学中难度较高但又极具应用价值的知识点。通过系统的练习和深入的理解，能够显著提升学生对函数性质的把握能力。希望这份训练题能帮助大家巩固基础、提升技巧，在高考中取得理想成绩。
