在高中数学的学习过程中，数列是一个非常重要的知识点，它不仅出现在考试中，还与函数、不等式、极限等内容密切相关。掌握常见的数列公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。本文将系统地整理高中阶段常用的数列公式，帮助学生更好地理解和应用。
一、等差数列
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
基本公式：
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
2. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
3. 中项公式（若三项成等差）：
若 $ a, b, c $ 成等差，则：
$$
2b = a + c
$$
二、等比数列
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ q $。
基本公式：
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比。
2. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \ne 1)
$$
当 $ |q| < 1 $ 时，无穷等比数列的和为：
$$
S = \frac{a_1}{1 - q}
$$
3. 中项公式（若三项成等比）：
若 $ a, b, c $ 成等比，则：
$$
b^2 = ac
$$
三、常见数列类型
除了等差和等比数列外，还有一些特殊的数列需要了解：
1. 等差数列的和的性质：
- 若数列是等差数列，则其前 $ n $ 项和 $ S_n $ 也是关于 $ n $ 的二次函数。
- 若数列是等差数列，且 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $。
2. 等比数列的和的性质：
- 若数列是等比数列，且 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $。
3. 阶梯数列（递推数列）：
有些数列通过递推关系定义，如：
- $ a_{n+1} = a_n + d $（等差）
- $ a_{n+1} = a_n \cdot q $（等比）
- $ a_{n+1} = a_n + f(n) $（非等差）
对于这类问题，通常需要结合递推公式进行求解或寻找通项表达式。
四、典型例题解析
例1： 已知等差数列的第3项为5，第7项为13，求其前10项的和。
解：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，
由题意得：
$$
\begin{cases}
a_3 = a_1 + 2d = 5 \\
a_7 = a_1 + 6d = 13
\end{cases}
$$
解方程组得：
$$
4d = 8 \Rightarrow d = 2, \quad a_1 = 1
$$
所以前10项和为：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 1 + 9 \cdot 2) = 5 \times 20 = 100
$$
五、学习建议
1. 理解公式推导过程：不要死记硬背，要理解每个公式的来源。
2. 多做练习题：通过大量练习巩固对数列的理解。
3. 注意分类讨论：例如等比数列中公比 $ q=1 $ 与 $ q≠1 $ 的情况不同。
4. 结合图像理解：数列可以看作离散的函数，画图有助于理解其变化趋势。
结语
数列是高中数学的重要组成部分，掌握好相关公式和方法，不仅有助于考试，也为后续学习高等数学打下坚实基础。希望本文能帮助同学们更系统地复习数列知识，提升解题能力。
