在高中数学的学习过程中，选修2-2作为重要的内容模块，涵盖了导数、定积分、推理与证明等核心知识点。为了帮助同学们更好地掌握这些内容，特此整理一份“高中数学选修2-2测试题二”，旨在通过练习加深理解、巩固知识、提升解题能力。
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在区间 $[0, 2]$ 上的极值点是（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
2. 若 $ \int_{0}^{1} (2x + a) dx = 3 $，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 已知函数 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(e) = $（ ）
A. 0
B. 1
C. e
D. $ \frac{1}{e} $
4. 下列命题中，属于合情推理的是（ ）
A. 由已知条件推导出结论
B. 根据个别事实归纳出一般结论
C. 用数学归纳法证明命题
D. 通过反证法得出结论
5. 曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线方程为（ ）
A. $ y = 2x - 1 $
B. $ y = x + 1 $
C. $ y = 2x + 1 $
D. $ y = x - 1 $
6. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $ 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. $ \frac{1}{2} $
二、填空题（每小题5分，共20分）
7. 函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $ 的单调递减区间是 __________。
8. 定积分 $ \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x) dx = $ __________。
9. 若 $ f(x) = \frac{x}{x+1} $，则 $ f'(x) = $ __________。
10. 用数学归纳法证明：$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $，当 $ n = 1 $ 时，左边为 __________。
三、解答题（共50分）
11. （10分）求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值，并判断其极大值和极小值。
12. （10分）计算定积分 $ \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) dx $。
13. （15分）设函数 $ f(x) = x \ln x $，求其导数 $ f'(x) $，并求该函数在 $ x = e $ 处的切线方程。
14. （15分）用数学归纳法证明：对任意正整数 $ n $，有
$$
1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
$$
参考答案（仅供参考）
一、选择题
1. A
2. B
3. B
4. B
5. A
6. C
二、填空题
7. $ (1, 3) $
8. $ \frac{7}{3} $
9. $ \frac{1}{(x+1)^2} $
10. 1
三、解答题
11. 极大值点为 $ x = -1 $，极小值点为 $ x = 1 $；极大值为 $ 2 $，极小值为 $ -2 $。
12. $ \frac{7}{3} $
13. $ f'(x) = \ln x + 1 $；切线方程为 $ y = 2x $。
14. 数学归纳法证明过程略。
本套试题全面覆盖选修2-2的重点内容，注重基础与综合应用相结合，适合用于单元检测或期末复习。希望同学们认真完成，查漏补缺，提升数学思维能力和解题技巧。
