在高中阶段，数学作为一门基础学科，涵盖了代数、几何、三角函数、概率统计等多个领域。掌握这些基本的数学公式，不仅有助于提高解题效率，还能增强逻辑思维能力和数学素养。以下是一份系统整理的高中数学常用公式大全，帮助学生更好地理解和运用数学知识。
一、代数部分
1. 因式分解公式
- $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
- $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
- $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
2. 二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
3. 不等式性质
- 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $
- 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $
- 若 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $
4. 指数与对数运算
- $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $
- $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
- $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $（换底公式）
二、三角函数部分
1. 基本三角函数关系
- $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
- $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $
- $ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $
2. 诱导公式
- $ \sin(-\theta) = -\sin \theta $
- $ \cos(-\theta) = \cos \theta $
- $ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta $
- $ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta $
3. 和差角公式
- $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $
- $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $
4. 倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta $
三、几何部分
1. 平面几何公式
- 三角形面积：$ S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 $
- 圆面积：$ S = \pi r^2 $
- 圆周长：$ C = 2\pi r $
2. 立体几何公式
- 长方体体积：$ V = 长 \times 宽 \times 高 $
- 球体积：$ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $
- 球表面积：$ S = 4\pi r^2 $
3. 勾股定理
在直角三角形中，满足：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
四、数列与排列组合
1. 等差数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n-1)d $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $）
3. 排列组合公式
- 排列数：$ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $
- 组合数：$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
五、概率与统计
1. 概率基本公式
- 事件 $ A $ 的概率：$ P(A) = \frac{有利结果数}{总结果数} $
- 互斥事件的概率：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
- 独立事件的概率：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
2. 期望与方差
- 期望：$ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $
- 方差：$ D(X) = E[(X - E(X))^2] $
六、导数与微积分初步
1. 常见函数导数
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (e^x)' = e^x $
2. 导数应用
- 极值点：令导数为零，解出 $ x $，再判断是否为极值点
- 单调性：导数正负决定函数增减
结语
高中数学公式繁多，但掌握其核心内容并灵活运用，是学好数学的关键。建议同学们在学习过程中注重理解公式的推导过程，结合实际题目进行练习，逐步提升自己的数学能力。希望这份“高中数学公式大全”能够成为你学习道路上的得力助手！
