在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的部分，其中正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的核心工具。为了帮助大家更好地掌握这两个定理的应用，我们特意整理了一组练习题，并附上了详细的解答过程。
正弦定理
正弦定理指出，在任意三角形中，边长与其对应角的正弦值成比例。具体表达式为：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
其中 \(a, b, c\) 分别表示三角形的三条边，而 \(A, B, C\) 则是对应的三个内角。
余弦定理
余弦定理则是用来计算三角形边长或角度的一种方法，其公式为：
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]
这个公式可以用于已知两边及其夹角求第三边，或者已知三边求某一边所对的角度。
练习题
题目一
已知一个三角形的两个角分别是 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\)，且夹在这两个角之间的边长为 4。请使用正弦定理求出另外两条边的长度。
解答
根据正弦定理：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
设 \(A=30^\circ\), \(B=60^\circ\)，则 \(C=90^\circ\)。代入已知条件：
\[ \frac{4}{\sin 90^\circ} = \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} \]
因为 \(\sin 90^\circ = 1\)，所以：
\[ 4 = \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
解得：
\[ a = 2, \quad b = 2\sqrt{3} \]
因此，另外两条边的长度分别为 2 和 \(2\sqrt{3}\)。
题目二
已知一个三角形的三边长分别为 5, 7, 8，请使用余弦定理求出最大的角（即对最长边所对的角）。
解答
设最长边为 \(c=8\)，则对角为 \(C\)。根据余弦定理：
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]
代入数据：
\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos C \]
计算得：
\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos C \]
\[ 64 = 74 - 70\cos C \]
\[ 70\cos C = 10 \]
\[ \cos C = \frac{1}{7} \]
利用反余弦函数可得：
\[ C = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81.79^\circ \]
因此，最大的角约为 \(81.79^\circ\)。
通过以上练习题，我们可以看到正弦定理和余弦定理在实际应用中的灵活性与重要性。希望这些题目能够帮助同学们巩固相关知识点，并提高解题能力。
