在数学学习中，函数是核心概念之一，而函数的定义域则是函数研究的基础。定义域指的是函数能够接受输入值的集合，它是确保函数有意义的关键部分。本文将通过几个经典例题来帮助大家更好地理解函数定义域的概念。

例题一：分式函数的定义域

题目：求函数 \( f(x) = \frac{1}{x-3} \) 的定义域。

解析：分式的分母不能为零，因此我们需要解方程 \( x - 3 = 0 \)，得到 \( x = 3 \)。这意味着当 \( x = 3 \) 时，函数无意义。因此，函数的定义域为所有实数，除了 \( x = 3 \)。用集合表示为 \( (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \)。

例题二：平方根函数的定义域

题目：求函数 \( g(x) = \sqrt{x+5} \) 的定义域。

解析：平方根函数要求被开方数非负，即 \( x + 5 \geq 0 \)。解不等式得 \( x \geq -5 \)。因此，函数的定义域为 \( [-5, +\infty) \)。

例题三：对数函数的定义域

题目：求函数 \( h(x) = \log(x-2) \) 的定义域。

解析：对数函数要求真数大于零，即 \( x - 2 > 0 \)。解不等式得 \( x > 2 \)。因此，函数的定义域为 \( (2, +\infty) \)。

例题四：复合函数的定义域

题目：已知函数 \( f(x) = \sqrt{x-1} \) 和 \( g(x) = \frac{1}{x-4} \)，求复合函数 \( f(g(x)) \) 的定义域。

解析：首先，确定 \( g(x) \) 的定义域为 \( x \neq 4 \)。其次，考虑 \( f(g(x)) \)，即 \( \sqrt{g(x)-1} \)。这里需要 \( g(x) - 1 \geq 0 \)，即 \( \frac{1}{x-4} - 1 \geq 0 \)。化简后得 \( \frac{5-x}{x-4} \geq 0 \)。解此不等式得 \( 4 < x \leq 5 \)。结合 \( g(x) \) 的定义域，最终复合函数的定义域为 \( (4, 5] \)。

通过以上四个例题，我们可以看到，函数定义域的确定需要综合考虑函数的具体形式和限制条件。掌握这些基本方法，有助于我们在更复杂的函数问题中游刃有余。希望这些例题能帮助大家加深对函数定义域的理解！