【高中4个基本不等式的公式】在高中数学的学习过程中，不等式是一个重要的知识点，尤其是一些基本不等式，它们在解题、证明以及实际问题中都有广泛的应用。以下是高中阶段常见的四个基本不等式，内容简洁明了，便于理解和记忆。
一、基本不等式总结
1. 均值不等式（AM ≥ GM）
对于任意两个非负实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ a = b $ 时，等号成立。
2. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
对于任意实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \dots, b_n $，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2
$$
当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} $ 时，等号成立。
3. 绝对值不等式
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
$$
这是三角不等式的体现，也称为“绝对值的三角不等式”。
4. 排序不等式（Reordering Inequality）
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n $，则：
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \dots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \dots + a_nb_1
$$
其中 $ \sigma $ 是 $ 1, 2, \dots, n $ 的一个排列。
二、表格总结
| 不等式名称 | 公式表达 | 条件/等号成立条件 | ||||||
| 均值不等式 | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $ | $ a, b \geq 0 $，当 $ a = b $ 时取等 | ||||||
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + \dots + a_nb_n)^2 $ | 当 $ \frac{a_i}{b_i} $ 相等时取等 | ||||||
| 绝对值不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 对任意实数 $ a, b $ 成立 |
| 排序不等式 | $ a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + \dots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + \dots + a_nb_1 $ | 当序列同向或反向排列时取等 |
三、小结
这四个基本不等式不仅是高中数学的重要工具，也是后续学习高等数学的基础。掌握它们的使用方法和适用范围，有助于提高解题效率，尤其是在涉及最值、极值、函数分析等问题时具有重要意义。建议结合具体例题进行练习，以加深理解。
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