【等比等差数列的前n项和公式】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种类型。它们的前n项和公式是学习数列时的重要内容，掌握这些公式有助于快速计算数列的总和。

本文将对等差数列和等比数列的前n项和公式进行总结，并以表格形式清晰展示。

一、等差数列的前n项和公式

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。

通项公式：

$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数。

前n项和公式：

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

或者

$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$

说明：

- 公式适用于任意长度的等差数列。

- 通过已知首项和公差，可以求出任意项的值，进而计算前n项的和。

二、等比数列的前n项和公式

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。

通项公式：

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。

前n项和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

或

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

说明：

- 当公比 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时 $ S_n = n \cdot a_1 $。

- 公式适用于有限项的等比数列，对于无限等比数列（当 $ r < 1 $ 时），可使用极限方法求和。

三、对比总结表

四、小结

等差数列和等比数列是数列学习中的基础内容，它们的前n项和公式不仅在数学考试中频繁出现，也在实际问题中广泛应用，如金融计算、物理运动分析等。掌握这些公式并理解其推导过程，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。

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