在统计学中，x²检验（也称为卡方检验）是一种用于分析分类数据之间是否存在显著性差异的方法。它广泛应用于医学研究、市场调查以及社会科学等领域。然而，在某些情况下，传统的卡方检验可能会受到样本量较小或理论频数过低的影响，导致结果不够准确。为了解决这一问题，引入了校正卡方检验。
卡方检验的基本原理
卡方检验的核心思想是通过比较实际观察值与期望值之间的差异来判断两者是否一致。其公式如下：
\[
\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}
\]
其中：
- \( O \) 表示实际观察值；
- \( E \) 表示期望值；
- \( \chi^2 \) 是卡方统计量。
根据自由度（df）和显著性水平（α），可以通过查表得到对应的临界值。如果计算出的 \(\chi^2\) 大于临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设。
校正卡方检验的应用场景
当样本量较小时，尤其是当表格中的单元格期望频数小于5时，传统卡方检验可能不再适用。此时可以采用耶茨连续性修正法（Yates' continuity correction）。该方法通过对每个单元格的差异进行0.5的调整来提高准确性。
修正后的公式为：
\[
\chi_c^2 = \sum \frac{(|O - E| - 0.5)^2}{E}
\]
需要注意的是，尽管校正后结果更加稳健，但在大样本条件下，两种方法的结果差异通常不大。
实例演示
假设我们有一个2×2列联表，记录了某种疾病的治疗效果（有效/无效）与治疗方法（A/B）的关系。原始数据如下：
| | 方法A | 方法B | 总计 |
|-----------|-------|-------|--------|
| 有效| 30| 40| 70 |
| 无效| 20| 10| 30 |
| 总计| 50| 50| 100|
首先计算期望频数：
\[
E_{ij} = \frac{\text{行总和}_i \times \text{列总和}_j}{\text{总计}}
\]
例如，\( E_{11} = \frac{70 \times 50}{100} = 35 \)，其他类似计算可得所有单元格的期望值。
接下来分别计算未修正和修正后的 \(\chi^2\) 值，并与临界值对比得出结论。
结论
无论是常规卡方检验还是校正卡方检验，它们都是数据分析的重要工具。正确选择使用哪种方法取决于具体的研究背景及数据特性。合理运用这些统计技术能够帮助我们更准确地解读实验结果，从而做出科学合理的决策。
