在数学分析中，求导是一个非常重要的概念，它帮助我们理解函数的变化率和趋势。掌握各种基本的求导公式对于解决复杂的微积分问题至关重要。以下是一些常用的求导公式，它们构成了求导的基础。

基本初等函数的导数

1. 常数函数

若 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是常数，则 \( f'(x) = 0 \)。

2. 幂函数

若 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)。

3. 指数函数

若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)。

若 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。

4. 对数函数

若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。

若 \( f(x) = \log_a(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。

5. 三角函数

若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)。

若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。

若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( f'(x) = \sec^2(x) \)。

6. 反三角函数

若 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。

若 \( f(x) = \arccos(x) \)，则 \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。

若 \( f(x) = \arctan(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)。

求导法则

除了基本的函数导数外，还有一些重要的求导法则可以帮助我们处理更复杂的情况：

7. 乘法法则

若 \( f(x) = u(x)v(x) \)，则 \( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)。

8. 除法法则

若 \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \)，则 \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \)。

9. 链式法则

若 \( f(x) = g(h(x)) \)，则 \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)。

10. 隐函数求导

对于隐函数 \( F(x, y) = 0 \)，可以将 \( y \) 视为 \( x \) 的函数，然后通过两边同时对 \( x \) 求导来得到 \( \frac{dy}{dx} \)。

11. 高阶导数

二阶导数表示一阶导数的导数，记作 \( f''(x) \)；更高阶导数以此类推。

特殊函数的导数

12. 双曲函数

若 \( f(x) = \sinh(x) \)，则 \( f'(x) = \cosh(x) \)。

若 \( f(x) = \cosh(x) \)，则 \( f'(x) = \sinh(x) \)。

13. 反双曲函数

若 \( f(x) = \text{arsinh}(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \)。

若 \( f(x) = \text{arcosh}(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)（\( x > 1 \)）。

应用实例

示例 1：复合函数求导

已知 \( f(x) = (3x^2 + 2)^5 \)，求 \( f'(x) \)。

解：设 \( u = 3x^2 + 2 \)，则 \( f(u) = u^5 \)。

利用链式法则：

\[ f'(x) = 5u^4 \cdot u' = 5(3x^2 + 2)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 2)^4 \]

示例 2：隐函数求导

已知 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求 \( \frac{dy}{dx} \)。

解：两边对 \( x \) 求导：

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]

以上便是求导公式的总结，熟练掌握这些公式和方法，能够帮助我们在数学分析中更加得心应手地解决问题。希望这份“求导公式大全”能成为你的学习助手！