在备考研究生考试的过程中，数学作为一门重要的科目，其重要性不言而喻。尤其对于选择数学（二）作为考试科目的考生来说，掌握好相关知识点和解题技巧至关重要。本文将结合2021年的考研数学（二）真题，为各位考生提供详细的解析，帮助大家更好地理解和应对这一科目。
一、真题概述
2021年考研数学（二）试卷涵盖了高等数学、线性代数等多个部分，题目设计注重基础与应用相结合，旨在考察考生对核心概念的理解深度以及解决实际问题的能力。整套试卷难度适中，既包含了常规的基础题型，也有一定比例的拔高题，能够全面评估考生的知识水平。
二、典型题目解析
题目1：函数极限计算
原题：
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
解析：
本题考查的是洛必达法则的应用。首先观察到当 $x \to 0$ 时，分子分母均趋于零，符合洛必达法则的使用条件。接下来对分子和分母分别求导：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}.
$$
继续使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}.
$$
再次应用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}.
$$
因此，该极限值为 $-\frac{1}{6}$。
题目2：矩阵特征值与特征向量
原题：
设矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$，求其特征值及对应的特征向量。
解析：
首先计算矩阵 $A$ 的特征多项式：
$$
|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 5\lambda.
$$
令特征多项式等于零，得到特征方程：
$$
\lambda(\lambda - 5) = 0.
$$
解得特征值为 $\lambda_1 = 0$ 和 $\lambda_2 = 5$。
接着求解对应于每个特征值的特征向量：
- 当 $\lambda_1 = 0$ 时，解方程 $(A - 0I)\mathbf{x} = 0$，即
$$
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.
$$
化简后可得 $x_2 = -\frac{1}{2}x_1$，取特解 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$。
- 当 $\lambda_2 = 5$ 时，解方程 $(A - 5I)\mathbf{x} = 0$，即
$$
\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.
$$
化简后可得 $x_2 = 2x_1$，取特解 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$。
综上所述，矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 5$，对应的特征向量分别为 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$。
三、总结与建议
通过以上两道典型题目的解析可以看出，考研数学（二）注重基础知识的同时也强调灵活运用能力。考生在复习过程中应做到以下几点：
1. 扎实掌握基本概念和定理；
2. 多做练习题，尤其是历年真题；
3. 定期总结归纳错题，查漏补缺。
希望本文提供的真题解析能为正在备考的你带来帮助，祝大家顺利通过考试！
