在数学学习中，一元二次不等式是一种常见的题型，其核心在于找到满足条件的未知数取值范围。这类问题不仅涉及代数运算，还需要结合函数图像进行分析。因此，掌握科学的解法至关重要。

首先，我们需要明确一元二次不等式的标准形式为 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 或 \( ax^2 + bx + c < 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。为了便于解决，通常需要先将不等式化简至最简形式，并确定方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根。

解法步骤：

1. 求根公式

对于方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，利用求根公式计算两个实数根 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)（若存在）。如果判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \geq 0 \)，则方程有实数解；否则无实数解。

2. 分类讨论

根据系数 \( a \) 的符号以及根的情况，对不等式进行分类讨论：

- 若 \( a > 0 \)，抛物线开口向上；

- 若 \( a < 0 \)，抛物线开口向下。

结合图像可以直观判断不等式的解集。

3. 结合图像分析

将不等式对应的抛物线画出，观察其与横轴的交点位置及开口方向。根据 \( y > 0 \) 或 \( y < 0 \) 的条件，确定解集。

4. 验证结果

最后，通过代入特殊值或区间测试的方式验证所得解集是否正确。

例如，对于不等式 \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)，我们先求出对应方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两根 \( x_1 = 2 \) 和 \( x_2 = 3 \)。由于 \( a = 1 > 0 \)，抛物线开口向上，且根之间的区域满足 \( y > 0 \)，因此解集为 \( (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)。

总之，一元二次不等式的解法依赖于扎实的基础知识和逻辑推理能力。通过熟练运用上述方法，能够高效准确地解决问题。