在数值分析领域中，龙格-库塔（Runge-Kutta）方法是一种广泛应用于求解常微分方程初值问题的重要算法。它通过一系列精确的近似计算来逼近方程的真实解，尤其适用于无法找到解析解的情况。本文将通过一个具体的例子来展示如何使用四阶龙格-库塔法解决实际问题。
假设我们有一个一阶常微分方程：
\[ y' = f(t, y) \]
并且已知初始条件为 \( y(t_0) = y_0 \)。我们的目标是利用龙格-库塔法估算从 \( t_0 \) 到 \( t_n \) 之间的函数值 \( y(t_n) \)。
示例问题
考虑以下微分方程：
\[ y' = t^2 + y \]
初始条件为 \( y(0) = 1 \)，求解区间为 \( [0, 2] \)，步长 \( h = 0.5 \)。
解题步骤
第一步：确定公式
四阶龙格-库塔法的基本公式如下：
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
\]
其中，
\[
k_1 = f(t_n, y_n)
\]
\[
k_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1)
\]
\[
k_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2)
\]
\[
k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3)
\]
第二步：初始化参数
给定 \( t_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \), \( h = 0.5 \)，我们需要计算 \( y_1 \) 和 \( y_2 \)。
第三步：逐步计算
1. 计算 \( k_1 \)
\[
k_1 = f(t_0, y_0) = f(0, 1) = 0^2 + 1 = 1
\]
2. 计算 \( k_2 \)
\[
k_2 = f(t_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{h}{2}k_1) = f(0 + 0.25, 1 + 0.5 \cdot 1) = f(0.25, 1.5) = 0.25^2 + 1.5 = 1.0625
\]
3. 计算 \( k_3 \)
\[
k_3 = f(t_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{h}{2}k_2) = f(0 + 0.25, 1 + 0.5 \cdot 1.0625) = f(0.25, 1.53125) = 0.25^2 + 1.53125 = 1.078125
\]
4. 计算 \( k_4 \)
\[
k_4 = f(t_0 + h, y_0 + hk_3) = f(0 + 0.5, 1 + 0.5 \cdot 1.078125) = f(0.5, 1.5390625) = 0.5^2 + 1.5390625 = 1.7890625
\]
5. 更新 \( y_1 \)
\[
y_1 = y_0 + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
\]
\[
y_1 = 1 + \frac{0.5}{6}(1 + 2 \cdot 1.0625 + 2 \cdot 1.078125 + 1.7890625)
\]
\[
y_1 = 1 + \frac{0.5}{6}(1 + 2.125 + 2.15625 + 1.7890625)
\]
\[
y_1 = 1 + \frac{0.5}{6}(7.0703125)
\]
\[
y_1 = 1 + 0.589194375 = 1.589194375
\]
继续类似的步骤可以得到后续的结果。
结论
通过以上步骤，我们可以看到龙格-库塔法是如何有效地逼近微分方程的解。这种方法不仅简单易行，而且具有较高的精度，在工程和科学计算中有着广泛的应用。
